4.5 “ Serie de Taylor”

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. Proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.


Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.



Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...


La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.

Supóngase que f satisface:

F(x)= c₀+c₁(x-a)+c₂(x-a)²+c₃(x-a)³+…

Para toda x en algún intervalo alrededor de a. entonces:

c_n= f^(x)(a) / n!

Así, una función no puede ser representada por más de una serie de potencias en x-a. La representación en serie de potencias de una función en x-a es su Serie de Taylor, llamada así en honor al matemático ingles Brook Taylor (1685-1731).

FORMULA DE TAYLOR CON RESIDUO:

Sea f una función cuya (n-1)-esima derivada f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) existe para cada x en un mismo intervalo I que contiene a a. Entonces, por cada x en I,

f(x) = f(a)+f ’(a)(x-a)+ f ’‘(a) / 2!  (x-a)² +…  + f⁽ⁿ⁾(a) / n! (x-a)ⁿ + R_n(x)

donde el residuo (o error) R_n(x) esta dado por la formula:

R_n(x)= f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) /  (n+1)!   (x-a)ⁿ⁺¹

Y c es algún punto entre x y a.

REFERENCIAS:

Análisis Matemático: Norman b. Haaser/ Jhoseph P. Lasalle/ Josept A. Jalliaan.
http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/serie_taylor.htm

4.6 “Representación de funciones mediante la serie de Taylor”

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:



o expresado de otra forma



Donde n! es el factorial de n




F(n) es la enésima derivada de f en el punto a



Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.




La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.





Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.





El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.





REFERENCIAS:
http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/serie_taylor.htm

4.7 "Calculo de integrales de funcones ( Serie de Taylor) ".

Teorema: Sea f una función con derivada n-ésima en el punto x0 . Entonces existe un polinomio P(x) y sólo uno de grado ≤ n que llamaremos de Taylor que


Satisface :
F(x0) P(x0); f´(x0) P´(x0); ......;fn)(x0) Pn(x)


Dicho polinomio viene dado por:

Pn(x) = f(x0) + f´(x0)(x − x0) + 1/2! f´´(x0)(x − x0)2 +. . . . . . + 1/n! fn)(x0)(x − x0)n

Sea n ∈ ℕ, f : [a, b] → Ɍ tal que f y sus derivadas f´, f´´, . . . . , fn) son
continuas en [a, b] y fn)1Þ existe en (a, b).



Si x0 ∈ [a, b] entonces para cualquier x en [a, b] existe un c entre x y x0 tal que f(x )= f(x0) (+f´(x0)(x−x0) + 1/2! f´´(x0)(x − x0)2 +. . . . 1/n! fn)(x0)(x−x0)n + Rn(x) donde Rn(x) 1 (n + 1)! fn1(c)(x − x0)n+1 y le llamaremos resto de Lagrange.


Luego f(x) =Pn(x) +Rn(x)


Si f es una función n veces derivable en el punto x0 y Pn(x) es su polinomio de Taylor se cumple: x→x0

lim f(x) – Pn(x)/


(x − x0)n = 0






REFERENCIA:http://reyesporfirio.blogspot.mx/2011/05/47-calculo-de-integrales-de-funciones.html