Las Matemáticas no son un
recorrido prudente por una autopista despejada, sino un viaje a un terreno
salvaje y extraño, en el cual los exploradores se pierden a menudo.
(W.S. Anglin, 1992)
(W.S. Anglin, 1992)
martes, 10 de julio de 2012
martes, 3 de julio de 2012
4.1 "Definicion de serie”
La sucesión {sn(x)} se llama serie infinita o
simplemente serie.
Las series son útiles tanto en el cálculo como en el estudio
de las propiedades de las funciones. Como las series están definidas en términos
de sumas, es de esperarse que tengan propiedades análogas a las de las sumas.
Veremos que, ciertamente, las series convergentes poseen la mayoría de las
propiedades algebraicas de las sumas. Para algunas otras necesitamos que la
convergencia sea uniforme.
El símbolo griego sigma indica que el sumando [(ak) en el último ejemplo] toma cada uno de los valores que debe recorrer K partiendo desde el límite inferior hasta llegar al límite superior a través de los enteros. Como se indica, el sumando se suma tantas veces como el número de enteros que recorra K.
El límite superior en los dos primeros ejemplos es 3 y en el tercero no se deja explícito, N puede tomar cualquier valor entero. K lleva la contabilidad de los términos incluidos en la suma y el valor más alto que toma es N (va desde K = 1 hasta K= N, con N un número entero).
Es fácil demostrar la siguiente propiedad de las sumatorias:
donde C es una constante que no depende de k. En palabras, cada vez que tenemos un factor que se repite en cada uno de los términos de la sumatoria, lo podemos sacar como factor común en frente de la sumatoria.
Una manera común de estudiar una serie particular es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.
Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos:
Dada la sucesión {an} la serie formada por los términos de dicha sucesión se representa como : å an y corresponde a la suma de todos los términos de la sucesión.
Carácter de una serie.
Convergente : Cuando la suma es un número real.
Divergente : Cuando la suma da + o - infinito.
Oscilante : Cuando no es ninguna de las anteriores.
REFERENCIAS:
Análisis Matemático: Norman b. Haaser/ Jhoseph P. Lasalle/
Josept A. Jalliaan.
http://www.escueladeverano.cl/fisica/verano2001/complemento/node5.html4.1.1 “Finita”.
Tienen un número limitado de términos. Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.
Según la formula de Taylor :
REFERENCIAS:
www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r72487.DOCX
4.1.2 “Infinita”
En un lenguaje sencillo, una sucesión:
a1, a2, a3, a4,…
Es un arreglo ordenado de números reales, uno para cada
enero positivo. Más formalmente una sucesión
infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y
cuyo rango es un conjunto de números reales. Podemos indicar una sucesión mediante
{an}. En Algunos casos, extenderemos un poco este concepto
permitiendo que el dominio conste de
todos los enteros mayores o iguales a un entero especifico, como en b0,
b1, b2, … y c8, c9, c10,…,
que denotamos como {bn} ∞n=0,
{cn}∞n=8, respectivamente.
Se puede
especificar una sucesión dando suficientes términos iniciales para
establecer un patrón, como este:
1,4,7,10,13,…
Mediante una formula explicita para el n-esimo termino, como en:
an= 3n-2, n >= 2.
O mediante una fórmula recursiva.
a1= 1, an= an-1+3, n>=2.
Los números U1+U2+U3+….+Un… son los términos de la serie infinita.
REFERENCIAS:
Análisis Matemático: Norman b. Haaser/ Jhoseph P. Lasalle/
Josept A. Jalliaan.
http://oramasseries.blogspot.mx/2011/05/412-series-infinitas.html4.2 “Serie numerica y convergencia, Prueba de la razon (Criterio de D'Alembert) y Prueba de la raiz (Criterio de Cauchy)"
El Criterio de d'Alembert
Se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.
Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de
se obtiene un número L, con los siguientes casos:
El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:
Tal que:
f(n) > 0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y
f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)
Se procede de la siguiente manera:
con n tendiendo a infinito.
Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera:
L < 1 la serie converge
L > 1 la serie diverge
L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.
Criterio de Cauchy
Sea una serie
tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
siendo
Entonces, si:
L < 1, la serie es convergente.
L > 1 entonces la serie es divergente.
L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.
REFERENCIAS:
4.3 “Serie de potencias”
Una serie de potencias es una serie en donde el término general es de la forma
Ejemplo:
Si la serie
converge, se tiene que para cada
y para todo
la serie
converge absolutamente.REFERENCIAS:
www-old.dim.uchile.cl/~docencia/.../presenta_sem15_calcdiff.pdf
4.4 “Radio de convergencia”
La ecuación de una circunferencia, Es un paso pequeño ir de
la formula de la distancia la ecuación de una circunferencia. Una
circunferencia es el conjunto de puntos que están a una distancia fija (el
radio) de un punto fijo (el centro).
Circunferencia <-> Ecuación
Decir que: (x+1)2 + (y-2)2 = 9
Es la ecuación de la circunferencia de radio 3 con centro
(-12) significa dos cosas:
1.
Si un punto está en esta circunferencia,
entonces sus coordenadas (x.y) satisfacen la ecuación.
2.
2. Si x y y, son números que satisfacen la ecuación,
entonces son las coordenadas de un punto de la circunferencia.
Al valor
Lo llamaremos El radio de convergencia de la serie de potencias
Este valor en infinito si existe algún X para el cual la serie
diverge u vale +"infinito" en otro caso.
Una forma de calcular R es:
REFERENCIAS:
Análisis Matemático: Norman b. Haaser/ Jhoseph P. Lasalle/
Josept A. Jalliaan.
www-old.dim.uchile.cl/~docencia/.../presenta_sem15_calcdiff.pdf
www-old.dim.uchile.cl/~docencia/.../presenta_sem15_calcdiff.pdf
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