4.5 “ Serie de Taylor”

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. Proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.


Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.



Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...


La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.

Supóngase que f satisface:

F(x)= c₀+c₁(x-a)+c₂(x-a)²+c₃(x-a)³+…

Para toda x en algún intervalo alrededor de a. entonces:

c_n= f^(x)(a) / n!

Así, una función no puede ser representada por más de una serie de potencias en x-a. La representación en serie de potencias de una función en x-a es su Serie de Taylor, llamada así en honor al matemático ingles Brook Taylor (1685-1731).

FORMULA DE TAYLOR CON RESIDUO:

Sea f una función cuya (n-1)-esima derivada f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) existe para cada x en un mismo intervalo I que contiene a a. Entonces, por cada x en I,

f(x) = f(a)+f ’(a)(x-a)+ f ’‘(a) / 2!  (x-a)² +…  + f⁽ⁿ⁾(a) / n! (x-a)ⁿ + R_n(x)

donde el residuo (o error) R_n(x) esta dado por la formula:

R_n(x)= f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) /  (n+1)!   (x-a)ⁿ⁺¹

Y c es algún punto entre x y a.

REFERENCIAS:

Análisis Matemático: Norman b. Haaser/ Jhoseph P. Lasalle/ Josept A. Jalliaan.
http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/serie_taylor.htm