4.1 "Definicion de serie”

La sucesión {s_n(x)} se llama serie infinita o simplemente serie.

Las series son útiles tanto en el cálculo como en el estudio de las propiedades de las funciones. Como las series están definidas en términos de sumas, es de esperarse que tengan propiedades análogas a las de las sumas. Veremos que, ciertamente, las series convergentes poseen la mayoría de las propiedades algebraicas de las sumas. Para algunas otras necesitamos que la convergencia sea uniforme.

El símbolo griego sigma indica que el sumando [(ak) en el último ejemplo] toma cada uno de los valores que debe recorrer K partiendo desde el límite inferior hasta llegar al límite superior a través de los enteros. Como se indica, el sumando se suma tantas veces como el número de enteros que recorra K.




El límite superior en los dos primeros ejemplos es 3 y en el tercero no se deja explícito, N puede tomar cualquier valor entero. K lleva la contabilidad de los términos incluidos en la suma y el valor más alto que toma es N (va desde K = 1 hasta K= N, con N un número entero).



Es fácil demostrar la siguiente propiedad de las sumatorias: 


donde C es una constante que no depende de k. En palabras, cada vez que tenemos un factor que se repite en cada uno de los términos de la sumatoria, lo podemos sacar como factor común en frente de la sumatoria.



Una manera común de estudiar una serie particular es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.



Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos:



Dada la sucesión {an} la serie formada por los términos de dicha sucesión se representa como : å an y corresponde a la suma de todos los términos de la sucesión.




Carácter de una serie.


Convergente : Cuando la suma es un número real.
Divergente : Cuando la suma da + o - infinito.
Oscilante : Cuando no es ninguna de las anteriores.

REFERENCIAS:

Análisis Matemático: Norman b. Haaser/ Jhoseph P. Lasalle/ Josept A. Jalliaan.

http://www.escueladeverano.cl/fisica/verano2001/complemento/node5.html