4. " Series"

Las Matemáticas no son un recorrido prudente por una autopista despejada, sino un viaje a un terreno salvaje y extraño, en el cual los exploradores se pierden a menudo.
(W.S. Anglin, 1992)

4.1 "Definicion de serie”

La sucesión {s_n(x)} se llama serie infinita o simplemente serie.

Las series son útiles tanto en el cálculo como en el estudio de las propiedades de las funciones. Como las series están definidas en términos de sumas, es de esperarse que tengan propiedades análogas a las de las sumas. Veremos que, ciertamente, las series convergentes poseen la mayoría de las propiedades algebraicas de las sumas. Para algunas otras necesitamos que la convergencia sea uniforme.

El símbolo griego sigma indica que el sumando [(ak) en el último ejemplo] toma cada uno de los valores que debe recorrer K partiendo desde el límite inferior hasta llegar al límite superior a través de los enteros. Como se indica, el sumando se suma tantas veces como el número de enteros que recorra K.




El límite superior en los dos primeros ejemplos es 3 y en el tercero no se deja explícito, N puede tomar cualquier valor entero. K lleva la contabilidad de los términos incluidos en la suma y el valor más alto que toma es N (va desde K = 1 hasta K= N, con N un número entero).



Es fácil demostrar la siguiente propiedad de las sumatorias: 


donde C es una constante que no depende de k. En palabras, cada vez que tenemos un factor que se repite en cada uno de los términos de la sumatoria, lo podemos sacar como factor común en frente de la sumatoria.



Una manera común de estudiar una serie particular es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.



Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos:



Dada la sucesión {an} la serie formada por los términos de dicha sucesión se representa como : å an y corresponde a la suma de todos los términos de la sucesión.




Carácter de una serie.


Convergente : Cuando la suma es un número real.
Divergente : Cuando la suma da + o - infinito.
Oscilante : Cuando no es ninguna de las anteriores.

REFERENCIAS:

Análisis Matemático: Norman b. Haaser/ Jhoseph P. Lasalle/ Josept A. Jalliaan.

http://www.escueladeverano.cl/fisica/verano2001/complemento/node5.html

4.1.1 “Finita”.

Tienen un número limitado de términos. Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.



Según la formula de Taylor :







REFERENCIAS:
www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r72487.DOCX

4.1.2 “Infinita”

En un lenguaje sencillo, una sucesión:

a₁, a₂, a₃, a₄,…

Es un arreglo ordenado de números reales, uno para cada enero positivo. Más formalmente una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyo rango es un conjunto de números reales. Podemos indicar una sucesión mediante {a_n}. En Algunos casos, extenderemos un poco este concepto permitiendo que el  dominio conste de todos los enteros mayores o iguales a un entero especifico, como en b₀, b₁, b₂, … y c₈, c₉, c₁₀,…, que denotamos como {b_n} ∞_n=0, {c_n}∞_{n=8, respectivamente.}

_{Se puede especificar una sucesión dando suficientes} términos iniciales para establecer un patrón, como este:

1,4,7,10,13,…

Mediante una  formula explicita  para el n-esimo termino, como en:

a_n= 3n-2, n >= 2.

O mediante una  fórmula recursiva.

a₁= 1, a_n= a_n-1+3, n>=2.

Si {Un} es una sucesión y Sn= U1+U2+U3+….+Un+.. Entonces {Sn} es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por






Los números U1+U2+U3+….+Un… son los términos de la serie infinita.



 REFERENCIAS:

Análisis Matemático: Norman b. Haaser/ Jhoseph P. Lasalle/ Josept A. Jalliaan.

http://oramasseries.blogspot.mx/2011/05/412-series-infinitas.html

4.2 “Serie numerica y convergencia, Prueba de la razon (Criterio de D'Alembert) y Prueba de la raiz (Criterio de Cauchy)"

El Criterio de d'Alembert


Se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.
Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de










se obtiene un número L, con los siguientes casos:









El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:








Tal que:
f(n) > 0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y
f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)
Se procede de la siguiente manera:







con n tendiendo a infinito.


Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera:


L < 1 la serie converge
L > 1 la serie diverge
L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.





Criterio de Cauchy

Sea una serie 





tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe


siendo 


Entonces, si:

L < 1, la serie es convergente.

L > 1 entonces la serie es divergente.

L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.


 REFERENCIAS:

www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/tesis/rfrangie/tesisrfrangie.pdf




http://www.foroswebgratis.com/tema-serie_numerica_y_convergencia_prueba_de_la_razon_criterio_de_alembert_y_prueba_de_la_raiz_criterio_de_la_raiz_cauchy-178891-2834553.htm

4.3 “Serie de potencias”

Una serie de potencias es una serie en donde el término general es de la forma








 Ejemplo:

Si la serie


 converge, se tiene que para cada







y para todo








la serie

   converge absolutamente.

REFERENCIAS:
www-old.dim.uchile.cl/~docencia/.../presenta_sem15_calcdiff.pdf

4.4 “Radio de convergencia”

La ecuación de una circunferencia, Es un paso pequeño ir de la formula de la distancia la ecuación de una circunferencia. Una circunferencia es el conjunto de puntos que están a una distancia fija (el radio) de un punto fijo (el centro).

Circunferencia <-> Ecuación

Decir que: (x+1)² + (y-2)² = 9

Es la ecuación de la circunferencia de radio 3 con centro (-12) significa dos cosas:

1.       Si un punto está en esta circunferencia, entonces sus coordenadas (x.y) satisfacen la ecuación.

2.       2. Si x y y,  son números que satisfacen la ecuación, entonces son las coordenadas de un punto de la circunferencia.

Al valor




Lo llamaremos El radio de convergencia de la serie de potencias


Este valor en infinito si existe algún X para el cual la serie




diverge u vale +"infinito" en otro caso.


Una forma de calcular R es:

REFERENCIAS:

Análisis Matemático: Norman b. Haaser/ Jhoseph P. Lasalle/ Josept A. Jalliaan.
www-old.dim.uchile.cl/~docencia/.../presenta_sem15_calcdiff.pdf

4.5 “ Serie de Taylor”

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. Proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.


Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.



Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...


La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.

Supóngase que f satisface:

F(x)= c₀+c₁(x-a)+c₂(x-a)²+c₃(x-a)³+…

Para toda x en algún intervalo alrededor de a. entonces:

c_n= f^(x)(a) / n!

Así, una función no puede ser representada por más de una serie de potencias en x-a. La representación en serie de potencias de una función en x-a es su Serie de Taylor, llamada así en honor al matemático ingles Brook Taylor (1685-1731).

FORMULA DE TAYLOR CON RESIDUO:

Sea f una función cuya (n-1)-esima derivada f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) existe para cada x en un mismo intervalo I que contiene a a. Entonces, por cada x en I,

f(x) = f(a)+f ’(a)(x-a)+ f ’‘(a) / 2!  (x-a)² +…  + f⁽ⁿ⁾(a) / n! (x-a)ⁿ + R_n(x)

donde el residuo (o error) R_n(x) esta dado por la formula:

R_n(x)= f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) /  (n+1)!   (x-a)ⁿ⁺¹

Y c es algún punto entre x y a.

REFERENCIAS:

Análisis Matemático: Norman b. Haaser/ Jhoseph P. Lasalle/ Josept A. Jalliaan.
http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/serie_taylor.htm

4.6 “Representación de funciones mediante la serie de Taylor”

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:



o expresado de otra forma



Donde n! es el factorial de n




F(n) es la enésima derivada de f en el punto a



Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.




La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.





Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.





El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.





REFERENCIAS:
http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/serie_taylor.htm

4.7 "Calculo de integrales de funcones ( Serie de Taylor) ".

Teorema: Sea f una función con derivada n-ésima en el punto x0 . Entonces existe un polinomio P(x) y sólo uno de grado ≤ n que llamaremos de Taylor que


Satisface :
F(x0) P(x0); f´(x0) P´(x0); ......;fn)(x0) Pn(x)


Dicho polinomio viene dado por:

Pn(x) = f(x0) + f´(x0)(x − x0) + 1/2! f´´(x0)(x − x0)2 +. . . . . . + 1/n! fn)(x0)(x − x0)n

Sea n ∈ ℕ, f : [a, b] → Ɍ tal que f y sus derivadas f´, f´´, . . . . , fn) son
continuas en [a, b] y fn)1Þ existe en (a, b).



Si x0 ∈ [a, b] entonces para cualquier x en [a, b] existe un c entre x y x0 tal que f(x )= f(x0) (+f´(x0)(x−x0) + 1/2! f´´(x0)(x − x0)2 +. . . . 1/n! fn)(x0)(x−x0)n + Rn(x) donde Rn(x) 1 (n + 1)! fn1(c)(x − x0)n+1 y le llamaremos resto de Lagrange.


Luego f(x) =Pn(x) +Rn(x)


Si f es una función n veces derivable en el punto x0 y Pn(x) es su polinomio de Taylor se cumple: x→x0

lim f(x) – Pn(x)/


(x − x0)n = 0






REFERENCIA:http://reyesporfirio.blogspot.mx/2011/05/47-calculo-de-integrales-de-funciones.html